Gayri resmi olarak, bir grup döngüseldir eğer tek bir öğe tarafından oluşturulmuşsa. Çarpma işlemi değişiyorsa değişmeli. Bir grup, tek bir eleman tarafından oluşturulabiliyorsa döngüseldir.
Bir değişmeli grup döngüsel midir?
Tüm döngüsel gruplar Değişkendir, ancak bir Değişken grup mutlaka döngüsel değildir. Bir Abelian grubunun tüm alt grupları normaldir. Bir Abelian grubunda, her öğe kendi başına bir eşlenik sınıfındadır ve karakter tablosu, grup oluşturucu olarak bilinen tek bir öğenin güçlerini içerir.
Abelian bir grubun döngüsel olduğunu nasıl kanıtlarsınız?
Kanıt
- G, bir g∈G üreteci olan bir döngüsel grup olsun. Yani elimizde G=⟨g⟩ var (G'deki her eleman g'nin bir kuvvetidir.)
- a ve b G'de rastgele elemanlar olsun. O zaman n, m∈Z vardır, öyle ki a=gn ve b=gm.
- Dolayısıyla rastgele a, b∈G için ab=ba elde ederiz. Böylece G bir değişmeli gruptur.
Bir grubun döngüsel olup olmadığını nasıl anlarsınız?
4 Cevaplar. Sonlu bir grup, eğer ise döngüseldir ve sadece, kendi düzenindeki her bölenin tam olarak bir alt grubuna sahipse olur. Yani aynı sırada iki alt grup bulursanız, grup döngüsel değildir ve bu bazen yardımcı olabilir.
Döngüsel grup nedir bir örnekle açıklayınız?
Örneğin, (Z/6Z)×={1, 5} ve 6 iki katı bir tek asal olduğundan bu döngüsel bir gruptur. … (Z/nZ)× döngüsel olduğunda, üreteçleri ilkel kök modulo n olarak adlandırılır. Bir p asal sayısı için, (Z/pZ)× grubu her zaman döngüseldir ve p dereceli sonlu alanın sıfır olmayan öğelerinden oluşur.
