A bir m × n matrisiyse, ATA ve AAT aynı sıfırdan farklı özdeğerlere sahiptir … Bu nedenle Ax, λ özdeğerine karşılık gelen AAT'nin bir özvektörüdür. AAT'nin sıfır olmayan her özdeğerinin ATA'nın bir özdeğeri olduğunu göstermek için benzer bir argüman kullanılabilir, böylece ispat tamamlanır.
AAT ve ATA'nın özdeğerleri aynı mı?
AAT ve ATA matrisleri aynı sıfırdan farklı özdeğerlere sahiptir. Bölüm 6.5, bu simetrik matrislerin özvektörlerinin dik olduğunu gösterdi.
ATA, AAT ile aynı mı?
AAT ve ATA gerçek simetrik olduğundan, ortogonal matrislerle köşegenleştirilebilirler. Önceki ifadeden (geometrik ve cebirsel çokluklar çakıştığı için) AAT ve ATA'nın aynı özdeğerlere sahip olduğu. sonucu çıkar.
ATA'nın farklı öz değerleri var mı?
Doğru. Örneğin, A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 ise, det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 karakteristik denkleminin tekrarlanan kökü yoktur. Bu nedenle, A'nın tüm özdeğerleri farklıdır ve A köşegenleştirilebilir. 3.35 Herhangi bir gerçek matris A için, AtA her zaman köşegenleştirilebilir.
Farklı özvektörler aynı özdeğere sahip olabilir mi?
Aynı Özdeğere karşılık gelen iki farklı Özvektör her zaman doğrusal olarak bağımlıdır. Aynı Özdeğere karşılık gelen iki farklı Özvektör her zaman lineer bağımlıdır.
