Örnek: Gauss tamsayılarının Z halkası, sonlu olarak oluşturulmuş bir Z-modülüdür ve Z, Noetherian'dır. Önceki Teorem'e göre Z bir Noether halkasıdır. Teorem: Noether halkalarının kesir halkaları Noether'dir.
Z X bir Noetherian yüzüğü mü?
Z[X, 1 /X] halkası Noetheryendir çünkü Z[X, Y]/(XY − 1) ile izomorfiktir.
Neden Z Noetherian?
Fakat Z'de I1 içeren yalnızca sonlu sayıda ideal vardır, çünkü bunlar Lemma 1.21'deki sonlu Z/(a) halkasının ideallerine karşılık gelir. Bu nedenle zincir sonsuz uzun olamaz ve dolayısıyla Z Noetheryendir.
Noetherian etki alanı nedir?
Tamsayılar gibi herhangi bir temel ideal halka Noether'dir çünkü her ideal tek bir öğe tarafından oluşturulurBu, temel ideal alanları ve Öklid alanlarını içerir. Bir Dedekind alanı (örneğin, tamsayı halkaları), her idealin en fazla iki öğe tarafından üretildiği bir Noetherian alanıdır.
Bir yüzüğün Noetherian olduğunu nasıl kanıtlarsınız?
Teorem Bir R halkası, eğer ve sadece R'nin boş olmayan her ideal kümesi bir maksimal eleman içeriyorsa İspat ⇐=I1 ⊆ I2 ⊆··· olsun R'nin yükselen bir idealler zinciri. S={I1, I2, …} koyun. Her boş olmayan ideal kümesi bir maksimal eleman içeriyorsa, o zaman S bir maksimal eleman içerir, IN diyelim.